-
Türkçe
Ders çok değişkenli fonksiyonlardaki iki derslik dizinin ikincisidir.Birinci ders türev ve entegral kavramlarını geliştirmekte ve bu konulardakiproblemleri temel çözme yöntemlerini sunmaktadır. Bu ders, birinci derstegeliştirilen temeller üzerine daha ileri konuları işlemekte ve daha kapsamlıuygulamalar ve çözümlü örnekler sunmaktadır. Ders gerçek yaşamdan gelenuygulamaları da tanıtmaya önem veren “içerikli yaklaşımla”tasarlanmıştır.Konuların sunumunda “ne?” ve “nasıl?” sorularının yanısı sıra, “neden?” ve“nerede?” sorularına da yanıt aranacaktır. İlk iki soru “tanım” ve “kanıt”larıoluşturuyor. Diğer iki soru da, konuların nereden geldiğini ve neredekullanılacağına yanıt veriyor.
Matematikte konuları bir düzen içinde hazır cevaplar vererek geliştirmek(Aristo yöntemi) önemlidir. Bunun yanı sıra sorular sorup, öğrenciyle birlikteyanıtlamak da öğrenim için etkin bir yöntem (Sokrat yöntemi). Buradaki sunumdauygun durumlarda Sokrat yönteminden yararlanmaya özen gösterilmektedir.
Niçin türev ve entegral? Yaşamın iki önemli göstergesi değişim ve birikimdir.Değişim farklarla ve birikim de toplamalarla tanımlanır. Özünde, diferansiyelhesap, ilkokuldan beri öğrenip uyguladığımız çıkarma ve toplama işlemlerininbir uzantısıdır. Diferansiyel hesaptaki yeni kavram anlık değişim ve değişkengirdilerden oluşan birikimin belirlenebilmesidir. Bu iki kavram sonsuz küçükdeğerleri gerektirir. İstenen anlık değişiklik ve birikim sonsuz küçüklerinsıfır olduğu limitte ulaşılan değerlerdir. Limit diferansiyel hesabın dayandığıtemel kavramdır.
Bir fonksiyon, bir girdi (bağımsız değişken) ile çıktı (bağımlı değişken)arasındaki ilişkidir. Bağımlı değişkendeki değişimin, bağımsız değişkendekideğişime oranı “türev” kavramını getirir. Birikim de, örneğin kütleyi, elektrikyükünü, enerjiyi, uzunluğu, alanı, hacmi veren fonksiyonların bağımsızdeğişkendeki sonsuz küçük değerlerle ağırlıklı toplamıdır. Bu işlem “entegral”kavramıdır. İlkokuldan beri toplama ve çıkarmanın birbirinin tersi vetamamlayıcısı olduğunu biliyor ve kullanıyoruz. Bu ilişki türev ve entegraldede geçerlidir. Diferansiyel hesabın iki “temel teoremi” bu ilişkiyi kanıtlar:Bir fonksiyonun türevinin entegrali, başlangıçtaki fonksiyonu verir. Benzerolarak, bir fonksiyonun entegralinin türevi de başlangıçtaki fonksiyonu verir.Bu temel sonuçlar “Tek değişkenli fonksiyonların diferansiyel hesabı” dersindenbiliniyor. Bu ders aynı konuları temel alarak, kavram ve hesaplama yöntemleriniçok değişkenli fonksiyonlara geliştiriyor.
Niçin çok değişkenli fonksiyonlar? Çünkü yaşamın gerçek konuları bir, ikiveya üç konum ve bir de zaman değişkeniyle belirleniyor. Ders tek değişkenlifonksiyonlarda öğrendiklerimizin üzerine yapılanıyor. Her yeni konuyabaşlarken, tek değişkenli fonksiyonlardaki eşdeğer durum hatırlatılacaktır. Bunedenle önceki dersin konularını hatırlatma, öğrenciye eksik bildiklerinitamamlama ve bildiklerini pekiştirme olanağını da veriyor. Dersin sonundaöğrenciler çok boyutta düşünebilme becerisini geliştirecek, çevreyi ve insanyapısı olan teknolojiyi gerçekçi anlamda kavrayabilecektir.
(Kaynak: Attila Aşkar, “Çok değişkenli fonksiyonlarda türev ve entegral”.Bu kitap dört ciltlik dizinin ikinci cildidir. Dizinin diğer kitapları Cilt 1“Tek değişkenli fonksiyonlarda türev ve entegral”, Cilt 3: “Doğrusal cebir” veCilt 4: “Diferansiyel denklemler” dir.
English
The course is the second of the two course sequence of calculus ofmultivariable functions. The first course develops the concepts of derivativesand integrals of functions of several variables, and the basic tools for doingthe relevant calculations. This course builds on the foundations of the firstcourse and introduces more advanced topics along with more advancedapplications and solved problems. The course is designed with a “content-based”approach, i. e. by solving examples, as many as possible from real lifesituations.The “why” and “where“ of the topics are discussed, as much as the “what”and the “how”. The answers to the latter are the “definitions” and “proofs”,while the answers to the first two tell the reason for studying a topic, andthe areas where such ideas are used.
The transfer of knowledge through an organized deductive process plays animportant role in mathematics (Aristotelian approach). An interactivecommunication between the teacher and the student through posing questions andanswering them leads to an effective method (Socratian method). The design ofthis course will benefit from the latter whenever feasible.
Why do we study derivatives and integrals? Because derivatives expresschange, and integrals define the cumulative results of many inputs. Change andgrowth through time or space are two basic aspects of life. Change is expressedwith the difference between two situations, and the cumulative result of manyinputs is an additive process. Thus basically, calculus is an extension of whatwe all learn as early as first grade as addition and subtraction. Calculusenables us to define and calculate instantaneous changes and growth bycontinuously varying inputs. Instantaneity of the changes and variability of theinputs are handled by infinitesimal quantities. The final results are obtainedin the limit where the infinitesimal changes become zero. The limit is thecentral concept of calculus.
A function defines the relationship between the inputs, which are the independentvariables, and outputs which are the dependent variables. The ratio of theinfinitesimal changes in the dependent variable to those of the independentvariable leads to the concept of the “derivative”. Similarly, the cumulativeoutputs of entities such as matter, energy, area, surface, volume, etc. arecalculated by the sum of the dependent variable weighted by the changes in theindependent variable. This operation leads to the concept of “integral”. Justlike in Grade One, where we observed that addition and subtraction are theinverses of each other, so are integral and derivative. This complementaritybetween the derivative and integral is expressed by the two “fundamentaltheorems of calculus”. All this is studied in the “Calculus of Single VariableFunctions”.
Why multivariables? Because real life problems involve several variables.Our environment is defined by three space variables and phenomena evolve interms of a fourth which is time. People- made phenomena require many morevariables. The course offered here is built on the knowledge of calculus ofsingle variable functions and extends the concepts and techniques tomultivariable functions. The concepts and techniques are, in most cases,natural extensions and generalizations from those in single variable functions.Hence, each topic will start the review of the fundamental concepts andcalculation techniques from the calculus of one variable functions. This reviewis an opportunity to supplement what a student missed in the earlier course onsingle variables, while advancing into relevant problems from real life thatinvolve more than one variable.
(Source: Attila Aşkar,Calculus of Multivariable Functions, Volume 2 of the set of Vol1: Calculus ofSingle Variable Functions, Volume 3: Linear Algebra and Volume 4: DifferentialEquations. All available online starting on January 6, 2014)
-
Türkçe
(Her derste çok sayıda çözümlü problem ve öğrencilerin çözmesi için ödevler ile incelenen konulardaki temel kavramlar ile çözüm yöntemleri özeti verilecektir.)Birinci hafta
İki değişkenli fonksiyonlardan hatırlatmalar: ikinci derece fonksiyonlar, kısmi türev ve iki katlı entegrallerdeki temel tanımlar ve geometrideki anlamları; iki değişkenli fonksiyonlarda türev ve entegrallerdeki temel hesaplama yöntemleri, iki katlı entegral hesaplamasında sıranın önemini örneklerle hatırlatılması; teğet düzlem ve diferansiyel; tam türev ve zincirleme türev. Yöne göre türev. Gradyan, Bu sonuçların üç ve “n” değişkenli fonksiyonlara genellenmesi.İkinci hafta
İki değişkenli fonksiyonlarda Koordinat dönüşümleri ve Jakobiyan. Diverjans, Rotasyonel ve Laplasyen. Dairesel koordinatlarda gradyan. Doğanı dört temel kısmi türevli denklemi: dalga, sızma, Laplace denklemleriyle Schrödinger denkleminin tanıtılması. İki değişkenli sonuçların üç değişkene ve mümkün olan durumlarda “n” değişkene genellenmesi. Karmaşık değerli fonksiyonların özel yapısıyla kısmi türevler ve tam ürev.Üçüncü hafta
En büyük ve en küçük değerler: yerel, mutlak ve kısıtlama altında. Kısıtlama altında en iyiyi arama (optimizasyon) ve Lagrange çarpanı yöntemi. Kısmi ürevlerin uygulaması ile değişimler hesabına giriş.Dördüncü hafta
Uzayda yüzeylerin açık, kapalı ve parametrik fonksiyonlarla gösterilmeleri ve eğrisel koordinatlar. sonsuz küçük yüzey alanları seçeneklerini birleştirilmiş bir yaklaşımla elde edilmesi. Uzayda küre, koni, paraboloitle gibi temel yüzeylerin tanıtılması ve bunları içeren alanlarla hesaplar.Beşinci hafta
Uzayda kapalı yüzeylerle tanımlanan hacımlar; sonsuz küçük hacımların birleştirilmiş yaklaşımla elde edilmesi. Jakobiyan ve sonsuz küçük hacım. Kartezyen, silindi ve küresel koordinatlarla uzaydaki yüzey ve cisimlerde üç katlı entegral hesaplamaları. Uzayda küre, koni, paraboloitler gibi temel yüzeylerle anımlanan hacımlardan örnekler ve bunları içeren hacım hesapları.Altıncı hafta
Vektör alanlarının tanıtılması; vektör alanlarıyla türev ve entegral. Düzlem eğrilerinde entegraller. Entegralin yörüngeye bağlı ve yörüngede bağımsız olması. Düzlem eğrilerinde birinci ve ikinci Green teoremleri. Düzlemdeki Green teoremlerinin vektörler, rotasyonel ve diverjansla gösterimi.Yedinci hafta
Düzlemdeki Green teoremlerinden uzayda Stokes ve Green – Gauss teoremlerine geçiş. Uzayda Green – Gauss ve Stokes teoremleriyle yüzey ve hacım entegralleri. Diverjans, otasyonel ve Laplasyen’in anlamı. Uzayda Green – Gauss ve Stokes teoremleriyle doğadan temel korunum denklemlerinin elde edilmesi. Kütle, elektrik yükü ve ısı enerjisinin korunmasında uygulamalar.***
English
(Each week’s material contains a large number of solved problems and assigned homework problems with hints. Each week’s material concludes with a basic summary of the fundamental topics covered and methods of calculations presented.)Week One
Review of functions in two variables: quadratic functions, basics of partial derivatives and double integrals. The geometric meaning and basic echniques of differentiation and integration in two variables. The order of differentiation and integration not changing the results. Importance of order of integration for computational practices. Tangent plane and differential. Chain rule and total derivative. Directional derivative and gradient. Generalizations to three and “n” variables.Week Two
Coordinate transformations and Jacobian. Gradient, divergence, curl and Laplacian. Gradient in polar coordinates. Acquaintance with the four basic equations of the physical sciences: wave, diffusion and Laplace equations; and Schrodinge equation. Generalizations to three and “n” variables whenever feasible. Structure and differentiability of complex functions as a special function i wo variables with the use of partial derivatives.Week Three
Review of minimum-maximum problems. Absolute minimum-maximum problems. Minimum-maximum problems with constraints, optimization using Lagrange multipliers. Extensions from two to three and “n” variables. Variational calculus as an application of partial derivatives.Week Four
Sample surfaces in space. Unified view of the calculation of infinitesimal surface elements. Examples of calculations of surface areas using the open form, closed form and parametric representations along with curvilinear coordinates.Week Five
Sample objects in space. Unified view of the calculation of infinitesimal volume elements. Examples of calculations of volumes using Cartesian, cylindrical and spherical coordinates. Coordinate transformations and the relatio between Jacobians and infinitesimal volumes.Week Six
Differentiation and integration of vector fields in two and three components as functions of two and three independent variables. Line integrals, path dependence and independence. Green’s theorems in the plane. The two plana Green’s theorems using vectors, curl and divergence.Week Seven
Passage from the two planar Green’s theorems to Green - Gauss’ divergence heorem and Stokes theorem in space. Calculations of surface and volume integrals involving these theorems. The meaning of divergence, curl and Laplacian. Demonstration of the use of these theorems to derive the conservation laws fo mass, electrical charge and heat conduction.
